Таткото не иска целия отпуск

че може да разтегли ползването на по няколко дни до навършване на 1 година от детето.

Няма такова нещо!
Все едно да имате болничен за 20 дни, примерно и да го "разтеглите" в рамките на 1 година да го ползвате

Това до 1 година, е отпуск по чл.163 ал.8 КТ и бащата може да ползва след 6-я месец на детето

Категорично съм на същото мнение. А по повод ползването само на 4 дни какво ще кажете?

Да го питаш този татко, защо изобщо ще ги ползва тези дни.

Според мен няма законова пречка бащата да иска отпуск САМО  за 4 дни.
(6) (Нова - ДВ, бр. 105 от 2006 г., в сила от 01.01.2007 г., изм. - ДВ, бр. 109 от 2008 г., в сила от 01.01.2009 г.) Осигуреният за общо заболяване и майчинство баща има право на парично обезщетение при раждане на дете в размера, определен по реда на чл. 49, за срок до 15 календарни дни, през време на отпуска по чл. 163, ал. 7 от Кодекса на труда, ако отговаря на условията по чл. 48а.
http://blog.apis.bg/2012/06/red-za-polzvane-ot-bashtata-na-otpusk-pri-razhdane-na-dete/

А при нас на двама татковци не изплатиха нищо, защото не са ползвали 15 дни - или ползва всичките 15 или нищо! Абсурден факт! На единия му се наложи да го оперират, беше ползвал 7-8 дни и не му ги изплатиха.

Това е абсурд. В наредбата си пише, че с подаване на заявление лицето може да прекрати ползването на отпуската.

И аз така мисля. 

При нас един татко декларира, че ще ползва 10 дни. Изплатиха му ги.