Щом още се водите на работа и нямате подадена информация в срок. Може да говорите с тях и ако не стане по добрия начин, спокойно може да подадете жалба.

Кога имате последно подадено от тях?
За 04.2016 са в нарушение. Срока за подаване беше до 25.05.2016г.
Вижте Справката за актуално състояние на трудовите договори. Там ще видите дали се водите още на работа.

Справка за осигурителния доход. намира се в раздел Предоставяне на данъчна и осигурителна информация
Избирате период, за който искате да проверите и ще излезе. Вижте дали имате подадено за 04.2016

Това, че здравните не са платени, не означава, че не е подадена информация към НАП. Отидете в НАП и си издайте ПИК и ще може да видите какво има подадено. След като твърдят, че са подадени по ел. път на момента се разбира дали е прието или не. Отидете в НОИ и подайте жалба, както казва marpan_64

Според мен не трябва да предприемате такава стъпка - прекратяване на договора. Първо се опитайте да се разберете с добро. Ако не стане подайте една жалба в НОИ.

Работодателят трябва да ги представи в НОИ до 10то число на месеца, следващ този през който сте представили необходимите документи.
Какви са оправданията,които си измислят?
Не може да Ви прекратят без предизвестие, за което им трябва разрешение от ИТ, след като попадате под закрила на майка до 3 годишна възраст. Интересно е какво са декларирали с Декларация обр.1 за месец 04.2016г.
Ако искате да продължите в друга фирма, подавате си молба за прекратяване по взаимно съгласие. Започвате в новата фирма, отработвате 1 ден и новия работодател подава необходимите документи от следващия ден. Обезщетението от 20.04.2016 до деня на напускане няма да бъде платено, докато стария работодател не подаде документите.
Ако имате ПИК от НАП може да видите каква информация са Ви подали за месец април. Ако целия месец се водите в обезщетение не виждам логика, документите да не са представени в НОИ.