Към кого да се обърна обаче по въпроса за трудовата книжка,  защото те не я искат въпреки молбите ми да я попълнят?

Единственият оторизиран субект в този случай е Инспекцията по труда. Към тях се обърнете. Ако се наложи, те имат право дори да Ви попълнят трудовата книжка вместо некоректния работодател. Преди това, разбира се, ще го попритеснят, за да му "подскажат" какво следва да направи.

Другото е, че след седмица започвам нова работа на ново място и се чудя проблем ли е ще е това с книжката ?

Едва ли ще е проблем за новия работодател, но все пак оформете първо книжката при стария (или в Инспекцията по труда), за да може новият работодател да пише на следваща страница в трудовата Ви книжка

Успех!