Ясно.
Издали сте фактура №123 за 100 лв.
Училището е платило по тази фактура 60 лв.
След това е платило останалите 40 лв. С това плащане е закрило задължението към вас и с това плащане вие си закривате вземането от тях по ф-ра №123.
Следващата фактура №124, която сте издали погрешно за 40 лв (колкото е второто плащане) ще я анулирате и ще си поискате оригинала, който сте дали (ако сте дали) на училището. Ако сте с кочан - слагате оригинала към копието в кочана, пишете отгоре по диагонал "Анулирана" и толкова. Продължавате с №125 и т.н.
Ако издавате фактури от софтуер трябва по някакъв начин да си отбележите, маркирате и т.н., че дадената ф-ра №124 е анулирана, да не търсите плащане по нея.
Ако това "и ние сме издали за всяко от тези плащания нова фактура" означава, че освен първоначарната фактура №123 за 100 лв вие сте издали още две фактури №124 за 60 лв и №125 за 40 лв, то тогава трябва да анулирате последните две и да остане само първата.
Трябва да съобразите, че за всяка издадена от вас фактура трябва да очаквате плащане - еднакратно или на няколко пъти. Във вашия случай втората (и евентуално третата) фактура ще останат неплатени и ще ви висят като вземания от клиенти (училището), каквоте вземания вие реално нямате.
По въпросите на ДДС-то - не знам, но не би трябвало да има проблеми. Грешки стават, фактури се анулират постоянно (например и при зачеркване и поправка на буква или число), нищо необикновено не е станало.