Може ли трудов договор да се регистрира в НАП без подписване от страна на служител?

Работодателят няма основание да регистрира неподписан ТД
Работникът може да започне работа след като получи подписат ТД, длъжностна и справка от НАП за приетото уведомление за сключения ТД.
След като не сте получили едно от изброените, ТД не може де влезе в сила.  След като работата по  ТД не е започвала, няма основание ТД да се прекратява. Такъв ТД се заличава.

ТК се изисква при сключване на ТД за да се изяснят някои обстоятелства (стаж, опит, прекратяване на предходет ТД и т.н.) , както и за вписване началато на новия ТД. Непредставянето на ТК е в ущръб на работника.

Има ли начин да се анулира регистрацията в НАП или да се подаде сигнал за невалидност? 

Подаденото уведомление може да се заличи от работодателя. Не зная начин работникът да поиска заличаване. Обаче при неявяване на работника на работа няма начин работата по  ТД да се смята за започнала

Казал му е да даде трудовата си книжка, за да се оформи напускането документално. 

И как "документално" ще прекрати нещо, дсето още не е започнало? Или Вие премълчавате нещо....

Служителят желае да напусне (спре да ходи на работа), защото работодателя отказва да предостави писмен договор,който да подпишат, въпреки молбите на служителя.

След като все пак работите макар и без договор ,а договорът пък регистриран без подпис всеки е допринесъл по нещо за ситуацията. В случая обаче по-същественият момент е,че има полагане на труд. Реално има започване на трудово правоотношение.