Прекратяване на договор за заместване

Здравейте! Моля Ви за спешно мнение. Учител е в продължителен болничен. Сключен е договор за заместване с друго лице.
По време на болничния титуляра почива. Издавам заповед за прекратяване на трудовото правоотношение с датата на смъртта и обезщетение за неизползван отпуск. Необходимо е да се сключи нов договор със замествания. Прекратява ли се със заповед договора със заместника и след това се сключва нов трудов договор или само се пуска допълнително споразумение за срочен договор?
При първия случай трябва да се изплати обезщетение за платен отпуск на заместника при прекратяване на договора?
Благодаря предварително за Вашите отговори!

Принципно си прав, Премиер, но аз лично бих прекратила по чл.68 и пуснала нов ТД по чл.67.
Веднага обяснявам защо:
ТД по чл.68 и с вид на договора 04
ТД по чл.67 е в вид на договора 01.

За да не стане каша в СУП-ата, ще постъпя по този начин

С оглед на правилния регистър на ТД в Нап бих се съгласила с мнението на Далила.Освобождаване от срочния и назначаване на безсрочен.Назначаване на срочен също е вариант,но трябва да имато основание за това 

Това също е опция,НО тя не променя справката в НАП за трудови договори,където договора ще продължи да си стои срочен 

През октомври 2012 към един срочен трудов договор направихме допълнително споразумение , с което същият договор стана безсрочен вече на основание чл.67 ал.1 т. 1 от КТ и подадох уведомление за това. Специално сега погледнах в справката за трудовите договори да видя какво основание стои срещу този договор - стои 01 , т.е. безсрочен.

Да, с код 01 и сега този код 01 стои в справката за действащите трудови договори за лицето.