И аз се натъкнах на този проблем, пробвайки през Explorer 11, Mozila, Chrome. Накрая се получи с Explorer 11, след като направих седното.  Минах си по процедурата докато излезе съобщението за гершка с линка за изтегляне на Java. Изтеглих я, инсталирах я и избрах да се деинсталира съществуващата стара версия, като излезе съобщението за това. Рестартирах компютъра. Не знам дали има значение но го прочетох като решение и зададох отметка в Explorer-а на internet options > advanced > Use TLS 1.0 . Изчистих кешове, кукис и тн – internet options > General > Browsing history > Delete … > Delete > Ok . Рестартирах браузъра. Отворих сайта на НАП и започнах отново процедурата. В момента когато трябва да се стартира приложението за електронно подписване в долната част на екрана излезе съобщение да разреша стартирането на приложение с бутон „Allow“. При други версии и браузъри съобщението може да е на различни едва забележими места – огледайте внимателно екрана! Натиснах бутона „Allow“, приложението за подписване тръгна и всичко беше наред.