Първо: управлението по какъв договор е - по ТД или по ДУ?
Второ: собственика на ЕООД-то продължава ли да е управител по учредителния акт?
Трето: сегашния счетоводител и бъдещ управител какво точно ще върши?
Първо си изяснете принципните неща в ситуацията и според това вземете аргументирано решение.

Програмата е сметнала правилно

Е, стига с тая счетоводна политика. Отдавна не е част от ГФО. Годишният доклад за дейността е нещо по различно.
Съгласно ЗСч.  , чл.42, ал.1 микропредприятията не са длъжни да изготвят доклад за дейността, но са длъжни да декларират определени обстоятелства във връзка с т.24.3 от СС1. Тези обстоятелства обикновено се декларират или след съкратения баланс или в пояснителния текст преди ГФО.
Относно декларацията по чл.62:  За 2019 съм зачелкнала ненужтите текстове (без да ги изтривам) и съч добавила, че съгл.чл...от ЗСч не се съставя год.доклад за дейността.  За съжаление нямам обратна връзка. Все още се обработва.
Последния ми обработен ГФО е за 2017 - включва съкратен баланс, ОПР и заглавна страница по образеза на КиК-инфо, без дори да съм декларирала нужните обстоятелства по СС1

Погледнете КСО. Пише си.
ЗО в случая са задължителни
За пенсия - по желание.
ДЗПО - ако е роден след 31.12.1959 и е пожелал да се осигурява за пенсия

Значи няма проблем
Освен ако в договора за управление или в ТД не е посочено, че не може да упражнява друга дейност.
Не зная доколко юридически издържано е управителя , като представляващ работодателя, да сключи ТД със себе си като работник. Сигурно има вратичка.
От НАП и НОИ въобще няма да Ви се разсърдят. Нали ще внасяте двойни осигуровки

След като този ГД е за период 25.05 - 31.08 , то ще се наложи да разпределите възнаграждението за 4 месеца и за всеки месец да прецените дали да внасяте осигуровки или не, като се съобразите с конкретните условия. При попълването на СИС е добре да декларира нужните обстоятелства за всеки месец от периода поотделнно.

В една и съща фирма ли?
Каква е фирмата - частна, държавна...?
...
Общо казано - зависи. В някои случаи може, при други - не.

Е, нали още по първия ГД има осигуровки. Значи 'е' осигурен на друго основание.
Пък и сулмарно не минават 3000... (освен, ако няма и друг доход за месеца)
По-голям проблем щеше да е, ако не е осигурен на друго основание и в началото на месеца е ГД за 300 лв, после по-големите.

.Въпроса ми е мога ли да обжалвам за възстановяване на оставащите 4 месеца от борсата, която са ми дали 2019 или не?

Не, не може да обжалвате. Всъщност може и да може, но няма смисъл: обезщетението е само за времето,  през което сте били безрабоен/а.
Единствената възможност да получите оставащата част от обезщетението е ако след спирането на борсата сте работили по-малко от 12 месеца. Както разбирам, Вие сте работили повече.

Притеснява ме, че през ноември ще подам данни за м. юни. Да не го отчетат като подадени след срока.

Няма да са след срока. Вижте в какъв срок се подават Д1 и Д6 за ГД според наредба Н13

И според мен има прекъсване.
За първите 3 р.д от май не сте ли начислили три дни от работодател?

Уведомление се подава при:
- сключен (подписан) ТД
- подписано ДС
- прекратен ТД.
Молбата на работничката не е основание за подаване на уведомление. Когато на база на тази молба се подпише ДС, тогава се уведомява НАП

Трябва. Срокът на предизвестието е задължителен елемент.
В края на краищата този срок на предизвестие си е приложим независимо от срока на изпитването.

При настъпване на нетрудоспособността работникът е осигурен във Вашата фирма. Носи Ви болничен, подавате го в НОИ. При попълване на приложението отмятате, че ТД е (ще е) прекратен на 01.08.2021. Разбира се, ако този ден попада в периода на болничния. Прекратявате ТД от 01.08. (с изтичане на предизвестието), независимо от болничните. Вижте КСО, чл.43 (ако не бъркам) - след прекратяване на ТД от НОИ ще продържат да плащат.
Във втората фирма постъпва на работа когато оздравее. Ако още го чакат. Няма значение дали новия ТД е подписан и обявен в НАП преди или след началото на болничния, преди или след прекратяване на ТД с Вашата фирма.
Може да проверите в КТ какъв е реда за отмяна на предизвестието. 

Първо си уточнете какъвпточно ще е договора с контрагента - дали ще е трузов с физическото лице (говорите за заплата), дали ще е двуг вид договор с ФЛ или ще е договор с фирмата.
Ако извършвате услуга на фирма от ЕС, трябва  предварително да се регистрирате по ЗДДС (като фирма или като ФЛ). Изключение в случая на ТД на ФЛ.
Тъй като задавате много въпроси, изискващи дълги разяснения, най-добре си платете на счетоводител
И - да, трябва да подадете в НСИ и ТР декларация за неактивност (срока май мина...)

Да, прекратява се ТД, но с 1 м. предизвестие за съкращение. Нали?

С предизвестие от 1 до 3 месеца, според това което е записано в ТД.

Относно чл. 222, ще подпиша допълнително споразумение между мен и работодателя, че не желая изплащане в следващия 1 м.

Такова споразумение няма никаква юридическа стойност. Не може да се откажете от свое право.
Колегата Ви е обяснил какво става на практика.

Чл. 54б, ал. 3 и 4 КСО

Е, това е основанието за прекратяване на ТД,  което в случая не е ограничение (чл.328, ал.1) и 3-годишния период от предходната борса (тук питащия поиска разяснение).   Вие казахте,че има и друго. Попитах Ви, тъй като не се сетих какво е това "друго"

Дали ще е минималния размер или нормалния - зависи от другите неща, които не казвате.

От кои други неща зависи дали размера на обезщетението за безработица ще е минимален или максимален? Освен основанието за прекратяване на ТД  и времето от предходната борса?
Друг въпрос е дали въобще има право на обезщетение или не.

Чл.328, ал.1 дава право на "пълна борса". Ако 3 години преди това не сте получавали обезщетение за безработица.
Трите години се броят от датата на отпускане на предходното обезщетение