Зависи от вида на ТД. Зависи лицето дали е било пенсионер при сключването на договора. Вижте и чл.333.
Най-лесно е по взаимно съгласие.

Не е нужно да се уведомяват повече институции.
С риск да съм нахална, ще направя една забележка - след като сте наели адвокат да оформи и извърши всички необходими действия по промяната на ЕООД в ООД, защо не си наемете счетоводител за да върши каквото е нужно по осчетоводяването, осигуровките и данъците?

Ако в договора не е срочен със скоро изтичащ срок, няма клауза за срок на изпитване или този срок е изтекал -не Ви остава нищо друго освен да продължите с процедурата по дисциплинарно уволнение, която сте започнали.

Не можете да искате прекратяване на срочния трудов договор по тази точка, преди да имате СКЛЮЧЕН безсрочен трудов договор. За да искате прекратяване на ТД по чл. 3271/7, ще трябва да представите поне подписан безсрочен договор. Добре е да представите и справка /или уведомлението/ за регистриран трудов договор.
Безсрочния ТД може за бъде сключен докато сте в болничен, а за започнете работа по него след болничния.
Направете разлика между "дата на сключване на договора" и "започване на работа по договора"!

Погледнато първосигнално - получава се двойно.
От друга страна и доходите са двойни, нали

Относно промяната  -вписването в ТР е достатъчно.
Предполагам, че знаете за за самоосигуряването на пенсионера и че въпросът не се отнася за това.

Всеки месец

Последователността е следната: първо сключвате новия ТД, после подавате заявление за прекратяване на стария и след като стария договор бъде прекратен започвате работа по новия.
Докато сте в болничен можете да сключите новия договор, да подадете заявление за напускане и стария договор да бъде прекратен. За да започнете работа по новия договор трябва да изчакате болничния да свърши

Така ми го изкарва програмката. Хайде де
Провери с калкулатора за осиг.стаж. Обърни внимание на това указание:
Като начална дата се вписва деня, от който лицето и започнало работа. Като крайна дата за периода се вписва датата, от която лицето е освободено, тоест първия работен ден, в който лицето не е на работа.

По въпроса с ОКД5 за пенсионер, който ще се осигурява само здравно:
1. Не съм сигурна, че трябва да подава ОКД5, защото с последния вид на формуляра няма какво да се декларира. Освен това ОКД5 е декларация по КСО, а пенсионерът-СОЛ няма да се осигурява по този кодекс, а само по ЗЗО.
2. Не препоръчвам да не се подава ОКД5 по две причини  -според мен е нужна за деклариране начало на дейност и все още се изисква при някои справки от НОИ и НАП. По-добре един документ повече, отколкото по-малко, нали
3. Смятам, че нещата трябва да бъдат уредени на по-високо ниво. Според мен тълкувателни решения за документи от подобен род са недопустими. Пример: на гише се подава декларация без да се чекне нито едно поле от "желая да се осигурявам за пенсия" и "желая да се осигурявам за всички осиг.случаи без безработица", в първия момент служителката я приема и дава вх.номер, после решава, че така празно не може да стои и чеква едно от полетата. После ходи и доказвай, че нямаш сестра...

Ето какво съм копнала по въпроса:

Не зная къде сте прочели това нещо. Ето какво пише в актуалната версия на Кодекса на труда:

Прекратяване на трудовия договор от работника или служителя без предизвестие
Чл. 327. (1) (Изм. - ДВ, бр. 100 от 1992 г., предишен текст на чл. 327, доп. - ДВ, бр. 58 от 2010 г., в сила от 30.07.2010 г.) Работникът или служителят може да прекрати трудовия договор писмено, без предизвестие, когато:
7. (изм. - ДВ, бр. 100 от 1992 г., изм. - ДВ, бр. 108 от 2008 г.) работи на срочен трудов договор по чл. 68, ал. 1, т. 1 или т. 3 и премине на друга работа за неопределено време;

Ето и линк към КТ
http://www.nap.bg/page?id=35

Можете да видите значението на чл. 68, ал.1, т.1 и на чл. 68, ал.1, т.3

За периода 01.06. - 30.06.2014 са 21 работни дни, при 4 часов работен ден са 10 дни и 4 часа осигурителен стаж
21*4=84:8=10дни и 4 часа

Това /години, месеци, дни, ... / словом се пише под цифрите, а не при професията.

първият ред е на 8 часа, а втория  -на 4, така ли?
Ако е така  -дапълнете на свсеки ред след "касиер" и часовете.
За периода 01.06. - 31.07.2014 осиг стаж при 4 часа е 1 м и 1 ден, защото имате 21+23=44 раб.дни *4 = 176 часа : 8= 22 дни, което е 1 м и 1 ден.
Обърнете внимание какво са обяснили колегите за крайната дата на периода.

Времето в болнични и майчинство се зачита за трудов стаж. Следователно имате право на платен отпуск за периода.

Срокът е тридневен от датата на СКЛЮЧВАНЕТО на договора.
Ако договорът е сключен /не само написан/ днес, то крайния срок за уведомление е 04.08.2014, а работникът може да започне работа след като подпише справката от НАП за прието уведомление. При отпечатването на справката има дата и час.

Погледнете чл. 62 от КТ

и аз така го попълних но ми иска осигуртелен доход

След като сте попълнили т.16.4? И никоя друга под точка на т.16?

Не се попълват часове.

Във втората колона на УП 3 "Наименование на длъжностите,
които е заемало лицето" Пишете "Касиер, код по НКПД ..., с работно време – 4 часа"
Текста "с работно време" може да се пропусне.

Това първия месец неплатен за тази година ли е? Т.е. - зачита ли се за стаж?
Ако се зачига -попълвате като за работен месец до т.16 включително. След това попълвате т. 16.4, и т. 27 и 28
Ако целият месец е бил в неплатен - в т. 27 пишете 210 лв, в т.28- 8%
Има значение дали лицето е здравноосигурено на друго основание през този месец.

Спорев вида на стокиге, които продавате.
Най-често са стоки от група Б.

Разгледах КСО и КТ около посочените членове, а също и Наредбата за елементите на възнаграждението..., но не открих основание да ви оборя...