По първия въпрос: мнението ми е "таралеж в гащите"
По втория: щом е по негово желание или по взаимно съгласие не се уведомява ИТ.

Регистрацията като самоосигуряващо се лице е в 7 дневен срок от започването на дейност. Осигуровките са след регистрацията. Могат да се плащат онлайн, но след подаване на Д1. Д1 е задължителна. Д6 е годишна. В зависимост от доходите може да се наложи да подава и декларация по чл.55 от ЗДДФЛ.
Не може да се регистрирате като СОЛ преди да сте вписани в регистър БУЛСТАТ като ЗП. (Датата на самата регистрация,  а не кога е получено картончето с БУЛСТАТа).
Ако нямате регистрация като ЗП, няма начин да се самоосигурявате като такъв. Ако работите на пчелина на друг ЗП, той би (!) трябвало да ви осигурява според договора, по който работите.
Препоръчвам консултация със счетоводител.  Добре е да не е само еднократна.

Собственика нали не е на ТД? Защо го набърквате в схемата?

1. Според това, какво сте декларирали в декларация ОКД5 при стартирането на дейност
2. За можене - можете, ама няма законово основание за отказ.
3. Заличаване на декларация ОКД5 /ако въобще е възможно/ + липса на каквато и да било Ваша дейност във фирмата Ви, липса на дейност на фирмата

И ако стане през месеца, то тогава ще трябва да направите две ведомости за работни заплати за същия месец- до промяната и след промяната на ТЗПБ.

Е, хайде де чак пък две ведомости
За месеца, през който строителите са станали повече от озеленителите, подавате Д1 с код за дейност строителство, номера на реда от ЗБДОО за строители и ТЗПБ за строители. От първо число на този месец. (Ако искате и може да се защитите - почнете от първо число на следващия месец)
ДС не са нужни. МОД не се вписва нито в ТД, нито в ДС. Осигуровките са върху заплатата, но не по-малко от МОД. Просто от един момент нататък ще попаднат в "не по-малко от МОД за строители" (ако заплатата не е достатъчно висока) . _{Не че МОД за строителните работници е много над МРЗ...}

 Отнася ли се за всички - след като не е посочено, че се отнася за определени групи, значи е за всички.
трябва ли да се коригират предходните месеци преди 13.05.2020 г.. - според мен "да", ако тези месеци включват дни от 31-вия до 60-ия.
....в Декларация 1 е генериран с код 28 ( вид осигурен ), при корекция на тази декларация т.е. да има дни зачетени за осигурителен стаж не ми дава да коригирам. - естествено. Кода за вид осигурен не може да се промени с корекция, а само със заличаване и нова Д1.
Следователно трябва да подам в един файл заличаване и  редовни данни иначе няма да я приеме - да.
Сега като разсъждавам, ако примерно декларация 1 има освен неплатен и работни дни, т.е. разминавания за сумите в декларация 6, - защо да има разлика? Осигуровките при неплатения със стаж и неплатения без стаж са едни и същи. Просто когато в месеца има работни дни и дни в НО със стаж, в Д1 отразявате дните НО в съответната подточка на т.16, а за дължимите ЗО попълвате т.27 и 28.

Излиза, че ако се занимаваш с допълнителна дейност, с малка печалба 300-500 лв. на месец, то въобще няма смисъл да го правиш.
Така излиза. Особено ако приходите са всеки месец
Във връзка със следното мнение, което се припокрива и с други искам да попитам дали това означава, че формирания облагаемия доход може да бъде под минималната заплата?
Облагаемия доход може да е колкото си е. Осигурителния доход за периода на упражняване на дейност не може да е под минималния праг за самоосигуряващи се лица (за 2020 г. - 610 лв). От тук: самоосигурява се, когато има дейност, когато няма - спира самоосигуряването.
Имам впечатлението, че няма яснота в тази ситуация как трябва да се процедира. 
Има си яснота. Пълна яснота. Проблемът е, че правилата често са свързани с разходи. А никой не обича разходите, нали?

Нали смисълът на самоосигуряването е лицето да се осигурява за положения от него личен труд в неговата си фирма Щом полага труд в дружеството си, независимо дали получава възнаграждение за този труд или не, подлежи на самоосигуряване или на осигуряване по ДУ /ако има ДУ и упражнява само управленска дейност/
По конкретните въпроси:
Трябва ли и какъв договор да му се пусне?  - е, чак пък договор. Достатъчно е едно решение на едноличния собственик на капитала /на него си/, че от еди коя си дата ще си изплаща възнаграждение за личния труд в размер на..лв.
Трябва ли да му спирам самоосигуряването? - не!!!
Уведомявам ли НАП? - единствено чрез  Д1, като попълните точките за брутен доход, облагаем доход и данък
А ето и отговори на непоставени въпроси:
Включвате плащането във ведомостта за заплати или в добавък към нея
Дължимия данък отразявате в Д6 с код 8, като го включвате в общия дължим данък на фирмата

 Вероятно е продавала лични вещи.

Ако е продавала лични вещи, няма нито данък, нито осигуровки
Ама явно не са лични вещи

Първо за всеки от съдружниците си отговорете на въпросите:
Ще упражнява ли някаква дейност в дружеството?
Ако упражнява дейност - каква? Само ще управлява или ще върши и друго? Или само друго?
...

Аз лично бих сменил адреса чрез ТР при каквито и да е /определени причини/. Не само заради исканите документи от данъчните..
Става толкова бързо и лесно.

Е, питащия може и да ползва адреса на стария собственик. В този случай да си направи договор за наем. Добре е този наем да не е безвъзмезден /т.нар. договор за послужване/

Какво Ви учудва?
С това правителство всичко е възможно.
Възможно днес /утре/ е  всички СУПТО  изисквания да бъдат отменени, а след ден, два или месец да бъда въведени отново със същата или по-голяма тежест.


ПП За протокола: нямам касов апарат и проблема не ме вълнува, нито ме е вълнувал

Стажът в ЕС се признава за пенсия, безработица,  но доколкото знам, не се признава за майчинство
За да получава майчинство трябва да имате 12 месеца осигурителен стаж с осигуровки за общо заболяване и майчинство (сумарно) и преди 45-дневния болничен да сте осигурена за ОЗМ /трудов договор , договор за управление,  СОЛ с осигуровки за ОЗМ/

А Вие сте....? ФЛ, СОЛ или ЮЛ?
Наемодателят е...? ФЛ или ЮЛ?
В заглавието пишете Д55. Може да погледнете кой и при какви обстоятелства я подава.

Ако този чл.71 е по инициатива на работодателя:
За всеки работен ден от периода на обезщетениети ще получавате по 60% от среднодневния осигурителен доход от последните 24 месеца.

А на какво основание се прекратява договора?
Кога за последно сте били на борсата?

Неплатения отпуск е по Ваше желание,  но с разрешение на работодателя.
Както казах по-горе: 30 работни дни /а за 2020 - 60 раб.дни/ се зачитат за трудов и осигурителен стаж. Този стаж важи при пенсиониране, за болнични, за безработица... При изчисляване на пенсията за периода на неплатения отпуск, зачетен за стаж, се смята върху 0.00 лв. При изчисляване на болнични, майчинство и безработица,  се смята върху минималната работна заплата.

Има право, а дали може...

Закон за счетоводството
Чл. 18. Физическите лица по чл. 17, ал. 1, които съставят финансовите отчети, и управляващите и/или представляващите счетоводните предприятия, които подписват финансовите отчети, когато финансовите отчети са съставени от счетоводни предприятия, трябва да отговарят на следните изисквания:...
в) средно икономическо образование и 8 години стаж като счетоводител;

Такива са правилата за попълване ва трудовата книжка.
И не се вписва брутната заплата,  а основната заплата (без "класове" и други добавки)
Обезщетението по чл.224 обикновено не се вписва в трудовата книжка.

Ако работите на 4 часа, дори заплатата Ви да се запази в размера като за 8 часа (което явно не е целта на шефа) осигурителния стаж пак ще е 1 месец за 2 отработени.
При работа на 4 часа пак сте осигурени за всички осигурителни случаи.
Неплатения отпуск до 30 работни дни в годината /а за 2020 г - 60 работни дни!/ се зачитат за трудов и осигурителен стаж.  Ако по това време сте на договор с 4 часов работен ден, осигурителния стаж през тези 30 (60) работни  дни ще е  пак 1 ден за два отработени. При 8 часов работен ден ще е ден за ден.
По време на неплатения отпуск се внасят само здравни осигуровки в размер на 24,40 които са за Ваша сметка.
За трудов и осигурителен стаж се признават ПЪРВИТЕ 30(60) работни дни от календарната година. След тези дни, неплатения отпуск не се зачита за трудов и осигурителен стаж.
Неплатения отпуск, независимо от размера му може да се ползва след заявление (молба) от работника и разрешение на работодателя. Работодателят не е задължен да разреши отпуска.


Сега аз при тази ситуация имам ли основание да си потърся правата?
Имате право да не подпишете допълнително споразумение. Не смея да гадая  след отказа какви ще са перспективите Ви в тази фирма, .
Работодателят има право да намали работното време със заповед само за 3 месеца от календарната година или по време на извънредно положение (чл.138а от КТ)